Poisson分布に従う少ない観測量に対する誤差統計量の近似式 - CGIBOYがサービスやめるからってそれくらいであきらめたりはしない。

Poisson 分布は観測値が大きければ中心極限定理により Guassian 分布に近づくわけですが，得てして天文業界では観測値が大きくない場合が多いです．そんなわけで Poisson 分布関数をそれなりにまじめに計算しないと本当はいけない場合が多いです．ざっと $n<10$ の場合に Poisson 分布的な振る舞いになります．その場合，以下のような近似式を使えば $n>0$ まで 1% 以下の精度で計算できます．ただし， $\lambda_l$ は $n=0$ でゼロ割をしてしまうので三項間演算子を使うなどして逃げる必要があります． $n==0 ? 0 : \lambda_l$ のように．
Confidence limits for small numbers of events in astrophysical data by Gehrels
http://ads.nao.ac.jp/abs/1986ApJ...303..336G
upper limit:
$\lambda_u \approx (n+1)\left( 1-\frac{1}{9(n+1)} +\frac{S}{3\sqrt{n+1}}\right)^3$
lower limit:
$\lambda_l \approx n\left(1-\frac{1}{9n}-\frac{S}{3\sqrt{n}}+\beta n^\gamma\right)^3$